Про теорему Пифагора

Теорема Пифагора — одна из древнейших и основополагающих в геометрии. Так или иначе она была известна различным античным цивилизациям, но первое общепринятое доказательство приведено именно Пифагором.

Думаю, никому не помешает освежить свою память, вспомнить свои школьные годы, когда зазубривали эту великую теорему, заново окунуться и с другого ракурса взглянуть на неё. Попытаемся простым и понятным языком объяснить всю её суть. Итак, попробуем сформулировать теорему Пифагора:

Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов катетов.

Или тоже самое, но в численной записи:

c2 = a2 + b2

где a и b — катеты прямоугольного треугольника, c — гипотенуза.

Прямоугольный треугольник, поясняющий численную запись

Немного истории

Про зависимость сторон прямоугольного треугольника так или иначе знали в Древнем Египте, которую также применяли для строительства своих архитектурных чудес. Египтяне знали о треугольнике со сторонами 5, 4, 3 и, используя веревки, откладывали нужные размеры, тем самым определяли неизвестную сторону.

Также о существовании треугольника со сторонами 5, 4, 3 знали в Древнем Китае.

Рисунок из древнекитайской книги, около 500 лет до нашей эры

Это изображение показывает графическое трактование зависимости соотношения сторон треугольника.

Установлено, что первое доказательство дано именно древнегреческим математиком Пифагором. На это указывают работы современников ученого, которые ссылались на него в своих работах. Существует даже легенда, что Пифагор от полученного восторга, когда открыл свою теорему, заколол сотню быков, отпраздновав тем самым это легендарное событие.

Стоит отметить такие цивилизации, как Древняя Индия, Вавилония, Древний Восток (современная территория Ближнего Востока), где в какой-то мере также была известна зависимость сторон прямоугольного треугольника. Но каких-либо доказательств, дошедших до наших дней, к сожалению, обнаружены не были.

Доказательства

Есть огромное множество доказательств теоремы Пифагора: от самых простых до труднопонимаемых. По некоторым оценкам существуют больше 400. Здесь мы постараемся разобраться в двух самых простых доказательствах, которые почти не требуют умственной работы.

Доказательство через равенство площадей

Нарисуем два квадрата, используя катеты и гипотенузу четырех треугольников, так, как показано на следующем рисунке.

Площадь большего квадрата будет равняться (a + b)2

А по отдельности площадь каждой фигуры:

— треугольника a⋅ b/2

— малого квадрата c2

Получим такое равенство:

(a + b)2 = 4 a⋅ b/2 + c2 

Продолжим преобразовывать это соотношение:

a2 + 2⋅ a b+ b2= 2⋅ a⋅ b + c2

Далее выражения 2⋅ a⋅ b взаимно уничтожаются и получается всем известное тождество:

a2 + b2 = c2

Согласитесь, все очень просто. Перейдем к следующему доказательству.

Доказательство через подобные треугольники

Подобные треугольники — это такие треугольники, в которых
соответственные углы равны, а стороны пропорциональны. Теперь, зная это, приступим к доказательству.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, из прямого угла которого проведена высота.

По признаку подобия получаем:

△ABC ~ △BHC ~ △AHB

Из этого следуют следующие соотношения:

Или

Гипотенуза треугольника равняется c = CH + AH. Подставив туда вычисленные прежде выражения и умножив обе стороны на c, получим нужную нам теорему:

c2 = a2 + b2

Область применения

Теорема Пифагора применяется повсеместно. Думаю, каждый, помимо учебных заведений, сталкивался с ней. В различных инженерных расчетах, научно-исследовательских работах, например, для определения недостающих размеров или расстояний до объектов, она просто незаменима. Также теорема Пифагора находит широкое применение в строительстве, архитектуре и в других областях жизни.

Рейтинг: 4.6 (92.5%) 8

Добавить комментарий